Этот вопрос очень любят задавать физикам. Мне самому этот вопрос мои студенты задавали раз наверное пятьдесят и при всей кажущейся простоте ответить на него не так то просто. Дело в размытости формулировки вопроса, которая допускает несколько верных ответов на этот вопрос.

Ведь действительно, как проходит этот тоннель - от полюса к полюсу или например на экваториальной широте? Что внутри тоннеля? Воздух? Какой-то газ? Вакуум? Человек прыгает в обычной одежде? В скафандре? В прочной капсуле устойчивой к высоким давлениям? И т.д.

Конечно пробурить такой тоннель нельзя. Даже если бы и удалось, то раскаленное вещество недр Земли мгновенно убило бы как прыгунов так и бурильщиков. Не будем принимать эти факты в расчет (иначе статью можно заканчивать прямо на этом). Допустим волшебным образом магма и ядро Земли изолированы от стенок тоннеля. 

Источник: jta.org

Допустим человек прыгает без скафандра в тоннель. Спойлер - он не долетит до центра Земли живым. Расстояние до центра Земли чуть больше 6000 км. Чем глубже, тем больше воздуха будет над ним и тем больше давление атмосферы. На Земле порядка 100 км атмосферы и в основном очень разреженной. В тоннеле атмосфера наоборот будет уплотняться. Уже через 100 км давление будет сравнимо с давлением воды на дно Марианской впадины.

Давайте представим, что из тоннеля откачан весь воздух и человек надев скафандр прыгает в тоннель. Все равно он обречен. Проблема в том, что Земля вращается.  В дело вмешается сила Кориолиса и незадачливый прыгун окажется размазанным по стенке тоннеля. Почему это произойдет? Все дело в том, что скорость вращения поверхности Земли вокруг центра больше, чем скорость внутренних частей Земли. Чем дальше от центра - тем больше скорость. 

Источник: blogspot.com

Это может казаться странным, но это легко объяснить. Возьмем пластинку радиусом 50 см. Какой путь пройдет головка проигрывателя за один оборот у края пластинки и скажем на расстоянии 10 см от центра? Легко убедиться, что за один оборот головка у края пластинки пройдет расстояние в 5 раз больше, чем вблизи центра, что говорит о в 5 раз большей скорости.

То же самое справедливо и для нашего прыгуна. Скорость вращения поверхности Земли вокруг центра составляет около 1600 км/ч. Для расстояния на полпути до центра составит уже 800 км/ч. Т.е. за время падения до глубины 3000 км нашему прыгуну придется погасить примерно 800 км/ч трением о стенки тоннеля, что вероятнее всего приведет к тому, что он просто сотрется в порошок. 

Капсула движущаяся по тоннелю через центр Земли в фильме "Вспомнить все".

Впрочем, внимательный читатель может сказать, а что если тоннель пробурен строго по оси вращения Земли, то вращением Земли вокруг своей оси и силой Кориолиса можно будет пренебречь.  Да, действительно это так. Мои рассуждения выше относятся скорее для случая тоннеля в экваториальных широтах.

В случае если тоннель пробурен через центр Земли и из тоннеля откачан воздух человек будет находиться в свободном ускоряющемся падении, пока не достигнет центра Земли¹. После прохождения центра Земли его падение наоборот начнет замедлятся до тех пор пока он не достигнет противоположного конца тоннеля. Весь путь займет примерно 42 минуты. Затем он развернется и вновь начнет падение сквозь тоннель. Так он будет падать туда-сюда вечно если только кто-то его не поймает на одном из выходов из тоннеля.

---------------------------------------------------------------------------------
1. Вообще строго говоря это не совсем так. Ведь центр массы Земли не совпадает с ее геометрическим центром. Однако в этих рассуждениях мы пренебрегаем этим моментом.